Die Frage nach der größten Zahl der Welt hat eine kurze Antwort: Es gibt sie nicht. Zu jeder Zahl, die du nennst, ist die Zahl plus 1 noch größer. Spannend wird es bei den riesigen Zahlen, die Mathematiker trotzdem benannt und genau definiert haben.
Ein bekanntes Beispiel ist der Googol, eine 1 gefolgt von 100 Nullen (10100). Die Zahl der Elementarteilchen im beobachtbaren Universum wird auf rund 1080 geschätzt (Quelle), also weniger als ein Googol.
Inhalt
Schlüsselerkenntnisse
- Ein Googol ist eine 1 mit 100 Nullen. Den Namen erfand 1920 Milton Sirotta, der neunjährige Neffe des Mathematikers Edward Kasner.
- Die Zahl der Elementarteilchen im beobachtbaren Universum wird auf rund 1080 geschätzt.
- Eine größte Zahl gibt es nicht: Zu jeder Zahl n ist n + 1 größer.
- Grahams Zahl und TREE(3) sind unvorstellbar groß, aber endlich.
- Ein Googolplex ist eine 1 mit einem Googol Nullen, also 10 hoch Googol.
Unendlichkeit: Die natürlichen Zahlen hören nie auf
Unendlichkeit ist ein Grundbegriff der Mathematik. Doch was bedeutet sie genau?
Die Bedeutung von Zahlen und Unendlichkeit in der Mathematik
Schon die natürlichen Zahlen 1, 2, 3 und so weiter hören nie auf: Zu jeder Zahl gibt es eine größere. Unendlich ist deshalb keine besonders große Zahl, sondern beschreibt, dass die Reihe kein Ende hat.
Alltägliche Beispiele und faszinierende Rätsel
Die Zahl der Sterne am Himmel ist riesig, aber endlich. Ein echtes Rätsel der Unendlichkeit ist die Frage: „Sind alle unendlichen Mengen gleich groß?“ Georg Cantor bewies, dass es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen gibt (Cantors Diagonalargument). Es gibt also verschieden große Unendlichkeiten.
Googol und Googolplex: Ein Neunjähriger erfand die Namen
Edward Kasner und die Entstehung des Googol
Den Begriff „Googol“ erfand 1920 der neunjährige Milton Sirotta, Neffe des amerikanischen Mathematikers Edward Kasner. Er schlug auch den Googolplex vor, als „eine Eins, gefolgt von Nullen, bis man müde wird“. Kasner legte ihn genauer fest: als 10 hoch Googol (Quelle).
| Begriff | Bedeutung | Entstehungsjahr |
|---|---|---|
| Googol | 1 gefolgt von 100 Nullen | 1920 |
| Googolplex | 1 gefolgt von einem Googol Nullen | 1920 |
| Universum | Elementarteilchen im beobachtbaren Universum: rund 1080 | Schätzwert |
Historische Entwicklung und praktische Anwendungen
Der Googolplex übertrifft die Zahl der Teilchen im Universum bei Weitem.
Kasners Buch „Mathematics and the Imagination“ (1940) machte den Googol populär. Kasner nutzte ihn, um den Unterschied zwischen einer unvorstellbar großen Zahl und der Unendlichkeit zu zeigen. Eine besondere Bedeutung in der Mathematik hat der Googol nicht (Quelle).
Die größte Zahl der Welt: Es gibt sie nicht
Warum es keine größte Zahl der Welt geben kann, lässt sich in einem Satz beweisen.
Mathematische Definitionen und Beweisführungen
In der Mathematik beruhen auch riesige Zahlen auf genauen Definitionen. Der Googol etwa ist als 10100 festgelegt, eine 1 gefolgt von 100 Nullen.
Dass es keine größte natürliche Zahl gibt, zeigt ein einfacher Widerspruchsbeweis: Angenommen, n wäre die größte Zahl. Dann ist n + 1 ebenfalls eine natürliche Zahl und größer als n. Die Annahme ist also falsch.
Populäre Mythen und spektakuläre Beispiele
Vom Googolplex heißt es oft, er sei größer als die Zahl der Atome im Universum. Das stimmt, und zwar mit riesigem Abstand: Schon seine Stellenzahl, ein Googol plus 1, ist weit größer als die geschätzten rund 1080 Teilchen im beobachtbaren Universum.
Grahams Zahl und TREE(3): unvorstellbar groß, aber endlich
Stell dir Zahlen vor, die so riesig sind, dass jede Vorstellung versagt. Grahams Zahl und TREE(3) gehören dazu, und trotzdem sind beide endlich.
Konstruktion und Bedeutung von Grahams Zahl
Grahams Zahl entsteht durch verschachtelte Potenzen und wird mit Knuths Pfeilschreibweise beschrieben. Die erste Stufe ist g1 = 3↑↑↑↑3 (vier Pfeile). Jede weitere Stufe verwendet so viele Pfeile, wie die vorige Stufe groß ist. Grahams Zahl ist die 64. Stufe, g64. Sie ist so groß, dass das beobachtbare Universum nicht genug Platz hätte, um sie Ziffer für Ziffer aufzuschreiben (Quelle).
- Grahams Zahl wächst durch wiederholte Anwendung von Potenzen und Exponenten.
- Die Pfeilschreibweise hilft, diese riesigen Werte zu beschreiben.
Der gigantische Sprung zu TREE(3)
TREE(3) ist noch weit größer als Grahams Zahl. Die Zahl stammt aus der Graphentheorie, genauer aus einer endlichen Form von Kruskals Baumsatz, die der Logiker Harvey Friedman untersucht hat (Quelle).
Anwendungen in mathematischen Beweisen
Grahams Zahl stammt selbst aus einem Beweis: Sie war eine obere Schranke für ein Problem der Ramsey-Theorie. Bekannt wurde sie 1977 durch Martin Gardner in der Zeitschrift Scientific American. Inzwischen sind für dieses Problem deutlich kleinere obere Schranken bewiesen.
Mathematische Logik: Manche Zahlen lassen sich nicht berechnen
Die Mathematik kennt auch Grenzen dessen, was sich überhaupt berechnen lässt.
Das Halteproblem und die Fleißiger-Biber-Funktion
Ein zentraler Meilenstein in der mathematischen Logik ist das Halteproblem. Alan Turing zeigte, dass es keine allgemeine Methode gibt, um vorherzusagen, ob ein Computerprogramm jemals stoppen wird. Damit lassen sich bestimmte mathematische Fragen grundsätzlich nicht durch ein Programm entscheiden.
Die Fleißiger-Biber-Funktion (Busy Beaver), 1962 von Tibor Radó eingeführt, verdeutlicht das. Sie gibt an, wie viele Schritte eine haltende Turing-Maschine mit n Zuständen höchstens machen kann. Diese Funktion wächst schneller als jede berechenbare Funktion und ist selbst nicht berechenbar (Quelle).
Unberechenbare Zahlen versus berechenbare Zahlenfolgen
Nicht jede Zahl lässt sich berechnen. Manche Zahlenfolgen lassen sich durch ein Programm erzeugen, andere liegen grundsätzlich jenseits jeder Berechnung. Der Unterschied zwischen berechenbaren und unberechenbaren Zahlen ist ein zentraler Aspekt der mathematischen Logik.
Die Church-Turing-These besagt: Alles, was sich im intuitiven Sinn berechnen lässt, kann auch eine Turing-Maschine berechnen. Beweisen lässt sich die These nicht, weil „intuitiv berechenbar“ kein exakt definierter Begriff ist (Quelle).
| Konzept | Beschreibung | Relevanz |
|---|---|---|
| Halteproblem | Frage, ob ein Programm irgendwann stoppt; kein Algorithmus kann sie für alle Programme beantworten | Zeigt Grenzen der Berechenbarkeit |
| Fleißiger-Biber-Funktion | Höchste Schrittzahl einer haltenden Turing-Maschine mit n Zuständen | Wächst schneller als jede berechenbare Funktion |
| Church-Turing-These | Setzt intuitive Berechenbarkeit mit Turing-Berechenbarkeit gleich | Grundlage moderner Informatik |
Fazit: Eine größte Zahl gibt es nicht
Eine größte Zahl der Welt gibt es nicht, denn zu jeder Zahl lässt sich eine größere bilden. Googol, Googolplex, Grahams Zahl und TREE(3) sind riesige, aber endliche Zahlen mit genauer Definition. Gehst du noch weiter, landest du bei der Fleißiger-Biber-Funktion, deren Werte sich im Allgemeinen nicht mehr berechnen lassen.